公约与公倍数解答

1.被10除余9的最小的正数为9；
2.很显然9除以5余4，合题；
3.很显然9除以4余1，合题；
取10、5和4的最小公倍数20
9+20n>100
20n>91
n>91/20=5
所以这个最小的三位数为20*5+9=109

这是同余问题：
只要碰到用一个固定的整数d去除整数的问题，由高斯所创的“同余”的概念和记法将使推理简单而清楚。
我们先用一个整数除以5，假设是从0~20的整数，我们发现，剩下的余数是0，1，2，3，4五个数字中的一个。那么，如果两个整数a和b被5除有相同的余数，我们就称它们“模5同余”。如2，7，12，17，-3，-8，-13等都是模5同余的。因为它们的余数都是2。一般地，如果有一整数n，使a-b=nd成立，我们就说a和b模d同余，记作a≡b（mod d）。如27和15是模4同余（都余3）。
高斯的同余记法所以有用是因为：对于一个固定的模来说，在形式上同余式包含许多普通等式的性质：
1）恒有a≡a（mod d）
2）如果a≡b（mod d），则b≡a（mod d）
3）如果a≡b（mod d），b≡c（mod d），则a≡c（mod d）
如果a≡a'（mod d），b≡b'（mod d），则
4）a+b≡a'+b'（mod d）
5）a-b≡a'-b'（mod d）
6）ab≡a'b'（mod d）
证明很简单，可以设a=a'+rd，b=b'+sd，代入上面的式子就可以证明结果。