设abc使不全相等的正数、证明a的平方+b的平方+c的平方大于ab+bc+ca

楼主知道基本不等式么

设A，B为实数，则A的平方+B的平方≥2AB 等号当且仅当A=B时取得
很轻松的

由基本不等式有
A的平方+B的平方≥2AB
同理
b的平方+c的平方≥2BC
a的平方+c的平方≥2AC

三式相加再除以2，得
a的平方+b的平方+c的平方大于等于ab+bc+ca
但是
abc使不全相等的正数，故以上三式不能全都取等
故a的平方+b的平方+c的平方大于ab+bc+ca

因为(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2＞0（a≠b≠c）
所以（去括号），a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2＞0
2a^2+2b^2+2c^2＞2ab+2bc+2ac(移项)
∴a的平方+b的平方+c的平方大于ab+bc+ca

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