非退化的双线性形式

1. 可以验证他们在V*中是不相关且完全的，从而他们构成V*的基。这样就得到了V和V*的一个同构。

2. 但是这样一个同构是依赖于基的选取的，就是说，选取不同的基，会得到不同的同构。

3. 如果定义了内积，通过图片上的式子，就能定义一个canonical的同构，即不依赖于基的选取的。同样是因为任意线性函数f，它由它在基上的作用完全决定。取一组基e1, ..., en，为方便不妨取为正交的，令ai=f(ei)，取v=a1*e1+...+an*en，就有<v, ei> = ai = f(ei)这样f的作用完全等同于v的作用。

即使没有定义内积，任意取定V的一组基后，V和V*之间也有自然的同构。令
e1, ..., en是V的基，他们的对偶定义为
fi(ei)=1, fi(ej)=0, j不等于i，i=1,2,...,n
因为线性函数由基上的作用完全决定，这样定义
了n个线性函数。
可以验证他们在V*中是不相关且完全的，从而他们构成V*的基。这样就
得到了V和V*的一个同构。

但是这样一个同构是依赖于基的选取的，就是说，选取不同的基，会得到
不同的同构。

如果定义了内积，通过图片上的式子，就能定义一个canonical的同构，即
不依赖于基的选取的。关于你的问题，同样是因为任意线性函数f，它由它
在基上的作用完全决定。取一组基e1, ..., en，为方便不妨取为正交的，
令ai=f(ei)，取v=a1*e1+...+an*en，就有

<v, ei> = ai = f(ei)

这样f的作用完全等同于v的作用。