急急急！！跪求一高考数学题详细解题过程

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/31 18:57:44
这是江苏08年高考数学题
若三角形ABC中，AB=2，AC=（√2）BC，则三角形ABC面积的最大值为多少？
答案是2√2。
哪位大侠知道这是如何解出来的呢？？谢谢谢谢！~

设BC=a，则AC=√2BC=√2a
cosB=(a^2+4-2a^2)/4a=(4-a^2)/4a
(sinB)^2=(-a^4+24a^2-16)/16a^2
S^2=(1/2*AB*BC*sinB)^2=1/4*4*a^2*(-a^4+24a^2-16)/16a^2
=(-a^4+24a^2-16)/16=-a^4/16-3a^2/2-1=-1/16*(a^2-12)^2+8
所以当a^2=12,即a=2√3时，S^2有最大值8
即S的最大值为2√2
且有a+√2a>2,三边能组成三角形

解：设BC=a，则AC=√2BC=√2a
作AB边上高CD=h，设AD=x，则BD=|2-x|
由勾股定理
AC²-AD²=BC²-BD²=CD²
即2a²-x²=a²-|2-x|²=h²
a²=4x-4
所以
h²=2（4x-4 ）-x²
=-x²+8x-8
=-（x-4）²+8
所以当x=4时，h²取最大值8，h取最大值2√2
S△ABC的最大值=2*2√2/2=2√2

解答2
S△ABC=1/2AB*AC*Sin∠C 因为Sin∠C最大为1，所以S△ABC最大=1/2*2*根号2=根号2