已知N个正数A1,...An的和为1

应该是乘积式(i从1到n)[ai+(1/ai)]>=[n+(1/n)]^n ，取对数
即证明
(ln(a1+1/a1)+..+ln(an+1/an))/n>=ln(n+1/n)
易证f(x)=ln(x+1/x)在(0,1)上为凸函数
所以(ln(a1+1/a1)+..+ln(an+1/an))/n>=f((a1+...+an)/n)
=f(1/n)=ln(n+1/n) 其中函数的下凸的证明可以对函数求二次的导数，由于函数的二次的导数大于0，是下凸函数，这里用到了琴生不等式，可以再百度上搜到，另有下面的解法，是别人提供的思路，设ai,bi为非负实数，则有(a1a2……an)^(1/n)+(b1b2……bn)^(1/n)≤[(a1+b1)(a2+b2)……(an+bn)]^(1/n) 不等式中出现0一定成立，若都是正数，令bi=ti*ai,代入式子化简得到只需证1+[t1t2....tn]^[1/n]≤{[1+t1]*[1+t2]*....[1+tn]}^[1/n],用数学归纳法证明，n=1,2成立，n=4时，1+[t1t2]^[1/2]≤{[1+t1]*[1+t2]}^[1/2],1+[t3t4]^[1/2]≤{[1+t3]*[1+t4]}^[1/2],{1+[t1t2]^[1/2]}*{1+[t3t4]^[1/2]}≤{[1+t1]*[1+t2]*][1+t3]*[1+t4]}^[1/2],有柯西定理得到],{1+[t1t2]^[1/2]}*{1+[t3t4]^[1/2]≥{1+[t1t2t3t4]^[1/4]}^2,有{[1+t1]*[1+t2]*[1+t3]*[1+t4]}^[1/4]≥1+[t1t2t3t4]^[1/4],当n=3时，利用n=4,{[1+t1]*[1+t2]*[1+t3]*[1+（t1t2t3)^(1/3)]}^[1/4]≥1+[t1t2t3*（t1t2t3)^(1/3)]^[1/4],化简得到,{[1+t1]*[1+t2]*[1+t3]}^[1/3]≥1+[t1t2t3]^[1/3],一般的情况同样可以证明，这个思路和琴生的证明是一样的，都是先证明2^k的情况，在证明其他的情况. 令1/[ai]=bi,利用那个题目的结论得到[连乘式[ai+(1/ai)]]^