已知 a b c d x y 都是正数 且x+y=1

(ax+by)(bx+ay)
=abx^2+aby^2+xya^2+xyb^2
=ab(x^2+y^2)+xy(a^2+b^2)
=ab((x+y)^2-2xy)+xy(a^2+b^2)
=ab(1-2xy)+xy(a^2+b^2)
=ab+xy(a^2+b^2-2ab)
=ab+(a-b)^2 * xy
<=ab + (a-b)^2 *(x+y)^2 /4
=ab + (a-b)^2 /4
=(a+b)^2 /4

c、d是什么？没用到啊。
思路：
首先对不等式两边齐次化【右边2次，左边4次，通过x+y=1把右边升为4次】：
原不等式等价于：(ax+by)(bx+ay)≤[(a+b)^2][(x+y)^2]/4

证明：
∵2(ax+by)(bx+ay)≤(ax+by)^2+(bx+ay)^2
两边同时加2(ax+by)(bx+ay)得：
4(ax+by)(bx+ay)
≤(ax+by)^2+2(ax+by)(bx+ay)+(bx+ay)^2
=[(ax+by)+(bx+ay)]^2
=[(ax+bx)+(ay+by)]^2
=[(a+b)(x+y)]^2
=[(a+b)^2][(x+y)^2]
=(a+b)^2
∴(ax+by)(bx+ay)≤[(a+b)^2]/4

等号成立的条件是：(ax+by)=(bx+ay)
即：(a-b)(x-y)=0, a=b或者x=y=1/2

先用柯西不等式:

(a+b)(c+d)》(√ab+√cd） ^2 √是根号

再用均值不等式:

(a^2 + b^2)/2》[(a+b)/2]^2》ab /除号

所以那题:x+y=1

柯西:(ax+by)(bx+ay)》(√ab *x +√ab *y) ^2

=[√ab(x+y)]^2= ab

当ax/bx=by/ay 时,