一个可能比较难的题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/28 16:08:22
如图所示，在三角形ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD、等边三角形ACE、等边三角形BCF，并连接DF，EF。
（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；
（2）探究下列问题：（只填满足条件，不需证明。证明了更好）
①当三角形ABC满足什么条件时，四边形DAEF是矩形？
②当三角形ABC满足什么条件时，四边形DAEF是菱形？
③当三角形ABC满足什么条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在？

（1）证：
∠ACB+∠FCA=60°，∠ECF+∠FCA=60°，
所以∠ACB=∠ECF,同理∠DBF=∠ABC
∠ACB=∠ECF,且EC=AC,FC=BC,所以△ECF≌△ACB,所以EF=AB=AD
∠DBF=∠ABC，且DB=AB,FB=BC,所以△DBF≌△ABC，所以FD=AC=AE，
这样两组对边分别相等，则DAEF为平行四边形
（2）①△ABC为等腰直角三角形
②△ABC为等腰三角形
③△ABC为等边三角形