谁帮解下这道数学题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/16 23:47:32
双曲线C的离心率为 （5 1/2）/2，且与椭圆X2/9 + Y2/4 = 1有公共焦点

（1）求双曲线C的方程;
（2）双曲线C上是否存在两点A,B关于点（4，1）对称，若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由。

椭圆c^2=9-4=5
所以双曲线c^2=5
e^2=c^2/a^2=5/4
a^2=4
b^2=5-4=1
x^2/4-y^2=1

设AB斜率是k
y-1=k(x-4)
y=kx+(1-4k)
代入x^2-4y^2=4
x^2-4k^2x^2-8k(1-4k)x-4(1-4k)^2-4=0
(1-4k^2)x^2-8k(1-4k)x-4(1-4k)^2-4=0
x1+x2=8k(1-4k)/(1-4k^2)
AB关于(4,1)对称则这是中点
所以(x1+x2)/2=4
4k(1-4k)/(1-4k^2)=4
k=1
代入(1-4k^2)x^2-8k(1-4k)x-4(1-4k)^2-4=0
整理后得到的方程判别式大于0
有解
所以存在
x-y-3=0