25、 如图，操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/07 04:53:23
如图，操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与边DC或射线DC相交于点Q。
①当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；
②当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。
解:

解：（1）PQ=PB，（1分）
过P点作MN∥BC分别交AB、DC于点M、N，
在正方形ABCD中，AC为对角线，
∴AM=PM，
又∵AB=MN，
∴MB=PN，
∵∠BPQ=90°，
∴∠BPM+∠NPQ=90°；
又∵∠MBP+∠BPM=90°，
∴∠MBP=∠NPQ，
在Rt△MBP≌Rt△NPQ中，
∵∠PMB＝∠PNQ＝90°BM＝PN∠MBP＝∠NPQ
∴Rt△MBP≌Rt△NPQ，（2分）
∴PB=PQ．

（2）∵S四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ，
∵AP=x，
∴AM=22x，
∴CQ=CD-2NQ=1-2x，
又∵S△PBC=12BC•BM=12•1•（1-22x）=12-24x，
S△PCQ=12CQ•PN=12（1-2x）•（1-22x），
=12x2-324x+12，
∴S四边形PBCQ=12x2-2x+1．（0≤x≤22）．（4分）

（3）△PCQ可能成为等腰三角形．
①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，
PQ=QC，此时，x=0．（5分）
②当点Q在DC的延长线上，且CP=CQ时，（6分）
有：QN=AM=PM=22x，CP=2-x，CN=22CP=1-22x，CQ=QN-CN=22x-（1-22x）=2x-1，
∴当2-x=2x-1时，x=1．（7分）．