麦克斯韦气体速率分布函数。

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根据麦克斯韦在1859年发表的论文《气体动力理论的说明》，速度分布率和速率分布率的推导过程大致如下：
设总粒子数为N，粒子速度在x,y,z三个方向的分量分别为v(x),v(y),v(z)。
(1)以dNv(x)表示速度分量v(x)在v(x)到v(x)+dv(x)之间的粒子数，则一个粒子在此dv(x)区间出现的概率为dNv(x)/N。粒子在不同的v(x)附近区间dv(x)内出现的概率不同，用分布函数g(v(x))表示在单位v(x)区间粒子出现的概率，则应有
dNv(x)/N=g(v(x))dv(x)
系统处于平衡态时，容器内各处粒子数密度n相同，粒子朝任何方向运动的概率相等。因此相应于速度分量v(y),v(z)，也应有相同形式的分布函数g(v(y))，g(v(z))，使得相应的概率可表示为
dNv(y)/N=g(v(y))dv(y)
dNv(z)/N=g(v(z))dv(z)
(2)假设上述三个概率是彼此独立的，又根据独立概率相乘的概率原理，得到粒子出现在v(x)到v(x)+dv(x)，v(y)到v(y)+dv(y)，v(z)到v(z)+dv(z)间的概率为
dNv/N=g(v(x))g(v(y))g(v(z))dv(x)dv(y)dv(z)=Fdv(x)dv(y)dv(z)
式中F=g(v(x))g(v(y))g(v(z))，即为速度分布函数。
(3)由于粒子向任何方向运动的概率相等，所以速度分布应与粒子的速度方向无关。因而速度分布函数应只是速度大小v=√(v(x)²+v(y)²+v(z)²)的函数。这样，速度分布函数就可以写成下面的形式：
g(v(x))g(v(y))g(v(z))=F(v(x)²+v(y)²+v(z)²)
要满足这一关系，函数g(v(x))应具有C*exp(A*v(x)^2)的形式。因此可得
F=C*exp(A*v(x)²)*C*exp(A*v(y)²)*C*exp(A*v(z)²)=C³exp(Av²)
下面来定常数C及A。考虑到具有无限大速率的