线性代数 行列式问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/27 13:00:42
求证：方阵A*A＝E且A≠E，则det(A+E)=0

另外一种描述： A是方阵，A*A=I，则|A+E|=0

反证。
假设det(A+E)不为0，则A+E可逆，即存在可逆矩阵B使得
(A+E)B=E
两边左乘A-E。
左边=(A*A-E)B=0
右边=A-E，故A＝E，矛盾

证明：首先来求A的特征值，假设Aα=λα,所以有A^2α=λAα,即Aα=1/λα,
所以我们有λ=1或-1,即特征值仅能为1或者－1
现在我们证明特征值不可能全为1,因为特征值如果全为1,则1为｜λE-A｜的n重根，这就证明A＝E与题意不符，所以－1一定为一个特征值，这样就有det(A+E)=0。
大体的思路就是这样的，细节上的整理就留给你自己做了。