（n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)为什么能被120整除？

这个不好解释…这样，你看你写的那个式子是五个连续的数，而120实质是12345的乘积，也就是三个二，和一个三一个五的乘积，五个连续的数至少有一个五和三的倍数，因为每五个或三个连续数 中必有一个能被五和三整除，同理至少有三个二，这样把120分解来看，会好理解点，希望对你有所帮助。

因为120=3*5*8，这样分解是因为3，5，8两两互质，只要分别证明题目中的表达式能被它们整除，即说明120也能被整除。
显然，连续5个整数相乘，它们的积必然能被3、5整除。只需要证明该式能整除8即可。
因为8只有质因素2，因此分类讨论。n只可能为2k或者2k+1（k为整数，即分别讨论n为奇数和偶数的情况）
n=2k时，代入式子得8(k-1)k(k+1)(2k-1)(2k+1）能被8整除。
n=2k+1时，代入得4k(k+1)(2k-1)(2k+1)(2k+3),由于k(k+1)能被2整除（因为k,k+1中必有一个为偶数），所以n=2k+1时也能被120整除。

综上可知，题目中的命题成立。

(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)/120与(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)/(1*2*3*4*5)等价。

令z=(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)/(1*2*3*4*5)
=[(n+5)!/n!]/5!
=(n+5)!/(n!*5!)
=C(n+5，5)
z等于组合数C(n+5，5)，所以必然是整数，也就是(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)能被120整除。

推而广之，连续的n个正整数之积一定被n！整除。

最小的连续5个整数相乘1*2*3*4*5=120。1可以忽略不计。在这之后的任意4个数均可以看做是这5个数的倍数。因为这4个数能被120整除，所以他们加倍之后也能被120整除。