高数: 这个复函数为什么只在原点可导?

这是复变函数的解析问题。直接用柯西-黎曼方程解决就行了。
z=x+iy;
f(z)=|z|^2; 先写出它的 u(x,y)和v(x,y)
因为f(z)为实数，所以v(x,y)恒为0

u(x,y)=x^2 + y^2 然后求出u,v的偏导数。

u'x= 2x 对x求偏导。
u'y= 2y

v'x=v'y=0

可以看出只有在z=0处，即x=y=0时，才满足柯西-黎曼方程。
且f'(0)=(u'x+iv'x)|(0,0) = 0

注 ：柯西-黎曼方程 要求 1. u'x=v'y 2. u'y = -v'x

函数可导不一定连续，连续就一定可导可微。很当z>0时，f=z2当z<0时，f=-z2,很明显，函数不连续。如果要证明的话，可以从导数的定义去证明，这里就不详细说明了

除了0点,其他点处左右极限不相等