一题经典的数论题目，求答案

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/07 10:03:33
若ax(0)+by(0)是形如ax+by（x，y为任意整数，a，b是两个不全为零的整数）的最小整数，则[ax(0)+by(0)]|(ax+by)
给个详细点的证明谢谢。

证 ∵ax＋by是整数，且ax0＋by0＞0，由带余除法，

ax＋by=(ax0＋by0)q＋r(q是整数，0≤r＜ax0＋by0)．

∴ r=ax＋by-(ax0＋by0)q=a(x－x0q)＋b(y-y0q)，

说明r也是形如ax＋by的数，但ax0＋by0是形如ax＋by这样的数的集合中最小正数，又0≤r＜ax0＋by0，

∴ r＝0，

即得 (ax0＋by0)｜(ax＋by)．