高斯公式求积分

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/18 12:15:52
∫∫2xzdydz+y(1+2z)dzdx+(9-z^2)dxdy，其中∑是曲面Z=1-x^2+y^2
(0≤z≤1)的上侧。

不是不会，只是做到后面发现和答案不对，很郁闷。要考试了，谁帮忙算下，要有过程，我看哪做错了。

∫∫2xzdydz+y(1+2z)dzdx+(9-z^2)dxdy
高斯公式：
=∫∫∫[2z+(1+2z)-2z]dxdydz
=∫∫∫(1+2z)dxdydz
∑是曲面Z=1-x^2+y^2
使用柱坐标，x=rcosθ，y=rsinθ
则z的积分限（0，1-r^2）
r的积分限（0，1）
θ的积分限（0，2π）
=∫(0，2π）∫(0,1)dr∫(0,1-r^2)r(1+2z)dz
=2π∫(0,1)[1-r^2+(1-r^2)^2]rdr
=2π*(r^2-1/4r^4-2/5r^5+1/6r^6)|x=1
=31π/30

中间的具体积分就不用写了吧

∫∫2xzdydz+y(1+2z)dzdx+(9-z^2)dxdy
高斯公式：
=∫∫∫[2z+(1+2z)-2z]dxdydz
=∫∫∫(1+2z)dxdydz
∑是曲面Z=1-x^2+y^2
使用柱坐标，x=rcosθ，y=rsinθ
则z的积分限（0，1-r^2）
r的积分限（0，1）
θ的积分限（0，2π）
=∫(0，2π）∫(0,1)dr∫(0,1-r^2)r(1+2z)dz
=2π∫(0,1)[1-r^2+(1-r^2)^2]rdr
=2π*(r^2-1/4r^4-2/5r^5+1/6r^6)|x=1
=31π/30