i haven't got many eggs 里的got 起什么作用

这是很典型的英式英语，英式英语中表达“有”的时候用have got，而美式英语则直接用have，非常方便。
I haven't got many eggs 的意思是我没有很多，但还是有的，只是不多。
I haven't any eggs我一点也没有
这里的got 可有可无，个人认为不加的话说起来不太好听，英语中也有其语言节奏的

have got=have .是口语里的用法
对于这道题来说，它加个GOT。基本义还是拥有。但是强调了 “得到，弄到 ”这个含义。

关于have 和have got的区别，可以参考

http://zhidao.baidu.com/question/40509659.html?si=3

have got
(现在完成时)已经得到.
如:I have got the book.
我得到那本书了.

例句与用法:
I am glad to know that you have got well.
欣悉你已康复。
You need not have got up so early.
你不必起得那么早。
Be married next Christmas, for you will have got your master's degree by then.
明年圣诞结婚吧, 因为到那时你已经拿到硕士学位了。
I have got everything ready for the trip.
我做好了旅行的所有准备。
I couldn't have got to the meeting on time -- unless I had caught an earlier train.
我不可能及时赶到会场，除非我赶上了