高一数学树列

(1)由S(n+1）=4an+1，知S(n）=4a(n-1)+1,两者相减，得
a(n+1)=4[an-a(n-1)]
令bn=a（n+1）-2an知，b(n-1)=an-2a(n-1)
因bn=a(n+1)-2an=4[an-a(n-1)]-2an=2an-4a(n-1)=2*b(n-1)
所以：bn是公比为2的等比数列，
由a1=1,s2=4a1+1,知a2=4,
从而b1=a2-2a1=4-2×1=2
因此bn=2^n
设cn=an/2^n，求证cn是等差数列
由cn=an/2^n，知an=2^n*cn,
且a(n+1)=2^(n+1)*c(n+1)，a(n-1)=2^(n-1)*c(n-1)，
由bn=2an-4a(n-1)=2*2^n*cn-4*2^(n-1)*c(n-1)=2^(n+1)*[cn-c(n-1)]=2^n
得cn-c(n-1)=2^n/2^(n+1)=1/2
同样有，
b(n+1)=2a(n+1)-4an=2*2^(n+1)*c(n+1)-4*2^n*cn=2^(n+2)*[c(n+1)-cn]=2^(n+1)
得c(n+1)-cn=2^(n+1)/2^(n+2)=1/2
由c(n+1)-cn=cn-c(n-1)=1/2知cn为一等差数列。
(2)由c1=a1/2^1=1/2及公差1/2知cn=1/2+1/2*(n-1)=n/2
则an=2^n*cn=2^n*n/2=n*2^(n-1)
Sn=1*2^0+2*2^1+…………+ n*2^(n-1)
2Sn= 1*2^1+…………+（n-1）*2^(n-1)+n*2^n
下式减去上式，得
Sn=n*2^n-[2^0+2^1+…………+2^(n-1)]
Sn=(n-1)*2^n+1
或者Sn=4*a（n-1）+1=(n-1)*2^n+1