高分求解竞赛题（无图）

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/05/29 23:30:29

AD为⊙O的直径,PD为⊙O的切线,PCB为⊙O的割线,PO分别交AB、AC于点M、N.求证:OM=ON

下面的证法不需要做辅助线，但需要用到高中三角函数的知识和正弦定理

首先不加证明的给出两个角的和和差的正弦:

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

下面开始证明:

如附件图，设∠BAD=α,∠CAD=β,∠POD=γ

要证OM=ON,只需证S(⊿AOM)=S(⊿AON),也就是:

AM*BD=AN*DC(AM边上的高等于BD的一半,AC同)

也就是AM/AN=DC/BC

⊿AMN中用正弦定理:

AM/AN=sin(∠ANM)/sin(∠AMN)=sin(β+γ)/sin(γ-α)

DC/BD=2Rsinβ/2Rsinα=sinβ/sinα

即:

sin(β+γ)/sin(γ-α)=sinβ/sinα

展开并通分:

(sinβcosγ+cosβsinγ)sinα=(sinγcosα-cosγsinα)sinβ

整理,2sinαsinβcosγ=(sinβcosα-cosβsinα)sinγ

即:tanγ=2sinαsinβ/sin(β-α) ....1

另一方面,⊿PBD中用正弦定理

PD/sin(∠PBD)=BD/sin(∠BPD)

∠PBD=180-β,∠BPD=180-α-(180-β)=β-α

也就是:

PD=BD*sin(∠PBD)/sin(∠BPD)=BDsinβ/sin(β-α)=2Rsinαsinβ/sin(β-α)

R是圆的半径

那么tanγ=tan(∠POD)=PD/OD=PD/R=2sinαsinβ/sin(β-α) .......2

比较1,2，原命题得证