he found out a very good way to do with his son

do with 对付
他想到了一个好办反对付他儿子

不是with his,而是to do with/his son
即楼上所解，他想到了一个好办法对付他儿子

do with 对付、应对

his不是和with 相连，his 应该和后面的son 相连，即his son 意思是他的儿子。
加上介词with 原意表示和，这里可以翻译成 相处。 with his son即 和他的儿子相处。

整句话的意思就是 他发现了一个和他儿子相处的很好方法。

单单的with him fist 不一定能表达准确的意思，要看具体句子当中的语境。 还有这个结构也是介词加宾语 即 with ＋ him 后面的first 是表示一种时间状语。一定要弄清句子结构才能准确理解句子。