如何用洛伦兹变换推导相对论速度叠加和长度收缩？

1. 长度收缩效应. L'=L*√(1-v^2/c^2).
分析：设有一刚性杆沿x轴静止放置在S系中，两个端点的空间坐标分别为x(1)和x(2)，则杆在S系中的长度为 L=x(2)-x(1)，但从与杆有相对运动v的参照系S'中测得的长度L'=x'(2)-x'(1) 则会收缩到“固有长度”的√(1-v^2/c^2)倍，这是因为根据相对论的洛仑兹坐标变换，在S'系中测得的杆的两个端点在同一时刻t'的位置坐标x'(1)和x'(2)与S系中的坐标x(1)和x(2)有如下关系：
x(1)=[x'(1)+vt']/√(1-v^2/c^2)，
x(2)=[x'(2)+vt']/√(1-v^2/c^2)，
于是
L=x(2)-x(1)=[x'(2)+vt']/√(1-v^2/c^2)-[x'(1)+vt']/√(1-v^2/c^2)
=[x'(2)-x'(1)]/√(1-v^2/c^2)=L'/√(1-v^2/c^2)，
即 L'=L*√(1-v^2/c^2).

2. 速度变换式. S’系相对S系沿x轴正向以速度v运动，一物体相对S(S')系以速度V(V')运动，则V与V'之间的速度变换关系与v和c有关，如下
分析： 对洛伦兹坐标变换式进行求导即可得到，如下
V’(x’)=dx’/dt’=[(dx-vdt)/√(1-v^2/c^2)]/[(dt-vdx/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=[V(x)-v]/[1-vV(x)/c^2],
V’(y’)=dy’/dt’=dy/[(dt-vdx/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=V(y)√(1-v^2/c^2)/[1-vV(x)/c^2],
V’(z’)=dz’/dt’=dz/[(dt-vdx/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=V(z)√(1-v^2/c^2)/[1-vV(x)/c^2];

V(x)=dx/dt=[(dx’+vdt’)/√(1-v^2/c^2)