有理系数三次方程的根可用尺规作图的充要条件是它有有理根

将该方程变成首项为1的方程不改变其解：x^3+ax^2+bx+c=0，a，b，c是有理数。

充分性：
如果它有有理根，那么该方程可变为(x-r)(x^2+px+q)=0，r为有理数；于是问题转化为二次方程的解的作图问题。
由于原方程是有理系数三次方程，所以p和q必然是有理数（否则会发生有理数*有理数=无理数的矛盾），从而根据求根公式，至多会出现√(p^2-4q)的这个根式，这个根式必然可通过尺规作出。作法如下：

1、由于单位长度已知，所以可以做出长为q+1和q-1的线段。
2、构造直角三角形，使得斜边长为q+1，一直角边长q-1，这时另一直角边为2√q。
3、构造直角三角形，使得斜边长为p，一直角边为2√q，这时另一直角边为√(p^2-4q)。
ok，做出来了。

√p的做法不是一样的么？斜边长为(p+1)/2，一直角边长(p-1)/2的直角三角形就行了

只要是只含有2^n次根号的线段都可以做出来（根号内幂次数不够的话意味着乘以单位线段），证明参见抽象代数的课本。

必要性：
必须学抽象代数之后才能弄清楚，无法在此说明白。