证明任意四边形的面积不大于对边乘积之和的一半

连接两对角线

从一对顶点向另一条对角线作垂直

然后面积=另一条对角线*(高1+高2)

然后高1<连着顶点的对角线一部分 (直角边<斜边)

高2同理

于是原命题得证。

据广义托勒密定理,对角线之积不大于对边乘积之和,下面证明：
在四边形ABCD中,连接AC,作角ABE=角ACD,角BAE=角CAD
则三角形ABE和三角形ACD相似
所以 BE/CD=AB/AC,即BE*AC=AB*CD (1)
又有比例式AB/AC=AE/AD
而角BAC=角DAE
所以三角形ABC和三角形AED相似.
BC/ED=AC/AD即ED*AC=BC*AD (2)
(1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB*CE+AD*BC
又因为BE+ED>=BD ,定理即得证
而四边形的面积=对角线之积的一半乘以夹角的正弦