请教偏微分方程问题

第（3）问：
显然，这个方程没有什么特别之处，只有分离变数了。
假设u(x,y)＝X(x)*Y(y)，则代入原方程，得：

Y*dX/dx ＝ y*x*Y*X （1）

显然当Y＝0时，方程恒等，固u=0是方程的一个解；而当Y不为0时，将（1）两边除以Y，并简单操作得：

dX/X = yx*dx （2）

此时出现矛盾，因为X已经显然不是仅关于x的函数了。然而，如果将X替换为Z(x,y)，等式仍然成立。于是替换X为Z（即u(x,y)=Y(y)*Z(x,y)），并对（2）两遍同时积分，有：

ln(Z)=0.5*yx²+k

即：Z=exp(0.5*yx²+k)
最终有通解：

u = Y*exp(0.5*yx²+k) （3）

对于第(4)问：

注：下面的D表示偏微分符号，d表示普通的微分符号。

首先，根据（3）式，以及第一个条件，显然有：
Y(y=0)＝0，这是因为exp不可能为0。

另外，根据（3），显然又有：
Du/Dy
= dY/dy*exp(0.5*yx²+k)＋Y*0.5*x²*exp(0.5*yx²+k)

即：
Du/Dy(1,y)＝(dY/dy+0.5*Y)*exp(0.5*y+k) （4）

根据第2个条件和（4）式，有：

dY/dy + 0.5*Y = sin(y)*K （5）
其中K＝exp(-k)

这是典型的一阶线型非齐次微分方程。套用公式得：
Y = y1*(∫sin(y)*K/y1*dy+C)

其中
y1 = exp(-∫0.5*dy) = exp(-0.5y)

可得到最终解。至于积分过程，我就省略了，反正这是一个典型的RC电路的零状态响应方程，（因为Y(y=0)＝0），网上随便搜都有详细的积分