用重积分计算2x+2y+z=2,x=0,y=0,z=0所围成的四面体的体积

V=∫∫∫1dV 积分区域为题设中的体积
用先二后一法计算
=∫dz∫∫dxdy (z从2到0，x,y为投影区域）

由2x+2y+z=2可知投影区域为2x+2y=2-z
将投影区域带入上式中的二重积分即可

∫∫dxdy(区域为x+y=1-z/2)
=∫dx∫dy(x从0到1-z/2,y从0到1-x-z/2)
=∫1-x-z/2 dx (x从0到1-z/2)
=(1-z/2)-1/2(1-z/2)^2-z/2(1-z/2)
=1-z/2-1/2(1-z+z^2/4)-z/2+z^2/4
=1-z/2-1/2+z/2-z^2/8-z/2+z^2/4
=1/2-z/2+z^2/8

所以V=∫1/2-z/2+z^2/8 dz (z从2到0)
下面自己算吧！

(提示：∫（a，b）表示从a到b的积分)
四面体的体积V=∫（0，1）dx∫(0,1-x)dy∫(0,2-2x-2y)dz
=2∫（0，1）dx∫(0,1-x)(1-x-y)dy
=∫（0，1）[2(1-x)y-y²]|(0,1-x)dx
=∫（0，1）[2(1-x)²-(1-x)²]dx
=∫（0，1）(1-x)²dx
=[-(1-x)³/3]|（0，1）
=0+1/3
=1/3.