I'd like to settle down somewhere ___ the climate is mild.

这样想不对.这道题目必选C.因为就后面的定语从句而言是确一个状语成分,既然注意到了where的重复,想必你也对定语从句的分析有不错的基础吧,我也不必赘述.
不过你提到的重复在某些情况下是适用的.如下面这题:

My book is over there. That ____ I bought last week is written by Tom & Jerry.
A. that B. which
从语法角度讲两者都型--用来指代那本书.但注意先行词已经是that,再用that引导就显得极端不顺,因此偏向选B.

但说实话---这种题目就是纯粹应试的,平常没有人会说这么拗口的东西的.

因为where修饰的是地点, 所以该用where
somewhere在这里不妨碍什么的, 就跟some place一样

因为前面somewhere有了where,所以后面不要where了

千万不要这么想， somewhere这里是一个名词做宾语不是代词或连词

而定语从句里 从句要where这种代词！

这是一个定语从句，定语从句的引导词是从句中缺少的部分。那么the climate is mild这句话中缺少的是一个地点状语，一个气候比较温和的地方。所以这里应该要用where作引导词。
你的想法的错误在于没有看清句子的结构，而且somewhere只是前一个句子中的成份，与后面的句子中的词不会形成任何冲突。