【数学】高一不等式数列综合问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/10 18:52:33
★设数列{an}的前n项和Sn=(4/3)an-(1/3)*2^(n+1）+2/3,n=1,2,3…
(1):求首项a1和通项an；
（2）:设Tn=2^n/Sn,n=0,1,2…,证明：T1+T2+T3+…+Tn<3/2

{注：“^”指乘方，所有分数均用括号括着在，重点解析第二问}

1.a1=2，an=4^n-2^n（4的n次方减2的n次方）（用改变足标相减法和不动点法易求出）

2.代入得Sn=（1/3)*4^(n+1）-2^(n+1）+2/3

以下步骤我写好后用相片传上来，见图片，放大后可见。

解：(1)首先由题意：S[n]=(4/3)a[n]-(1/3)*2^(n+1）+2/3
上式中令n=1有：a[1]=(4/3)a[1]-(1/3)*2^(2)+2/3可解得a[1]=2
将a[n]=S[n]-S[n-1],(n>=2)代入原式化简得:
S[n]=4S[n-1]+2^(n+1)-2，(n>=2)
其中S[1]=a[1]=2
上式配凑得：S[n]+2^(n+1)-2/3=4(S[n-1]+2^n-2/3)
设Q[n]=S[n]+2^(n+1)-2/3,则Q[1]=16/3，上式化简为：
Q[n]=4Q[n-1]，显然{Q[n]}为等比数列
于是