不等式题目：设a,b,c∈R

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/26 20:02:22
设a,b,c∈R，若a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=1,且a>b>c,求c的取值范围。
要有详细的解题步骤
谢谢

由题意可得，首先a>b>c,且a+b+c=1可以看出a一定要大于0，否则a+b+c=1必不成立
而a+b=1-c;ab=[(a+b)^2-a^2-b^2]/2=c^2-c
将a,b,看作一个方程的两根，构造一元二次方程：x^2-(1-c)x+c^2-c=0，而由1=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2ab-2bc-2ca=1-2ab-2bc-2ca
可得：ab+bc+ca=0，若c>=0，则由a>b>c可知必有a,b>0，于是ab+bc+ca>0，矛盾，于是c<0
又知方程x^2-(1-c)x+c^2-c=0有两个不同的实根a,b，
所以有Δ>0且c<0解得-1/3<c<0

恩一

思路来自图形，做立体坐标系
a+b+c=1是一个定点为（1，0，0）（0，1，0）（0，0，1）（0，0，0）的四面体
a^2+b^2+c^2=1是圆心为（0，0，0）半径为1的圆
答案一目了然