数论小题，100分~

在提问人提问中所链接到的问题里:
http://zhidao.baidu.com/question/108779310.html

给一个算是说明吧：
首先排除n个连续整数中有正有负的情况，因为这时这n个整数中含0，整除是显然的；
那么以下就可以假设这n个整数都是正的，因为负的情况可以完全类似得出。
设m是任给一个正整数，那么题目就是m(m+1)...(m+n-1)/n!是一个整数，而这个数是以下问题的答案：从m+n-1个互不相同的东东中任取n个有多少种取法，显然是个整数。
首先可以确定任意连续k个整数中，必有一个能被k整除。如果都不能被k整除的话，根据抽屉原理，必有两个数除以k余数相同，那么它们的差就能被k整除，只能为k,2k,3k……
但由于这串数中最大数与最小数之差才只有k-1,所以矛盾。因此假设不成立，因此有一个数能被k整除。
同理可以知道连续k个数中至少有一个能被k-1;k-2;……2,1整除。所以这连续k个数之积能被k!整除。

证明:

某班有学生m个人,要选班干部n名,求可能的情况数

根据排列组合公式

可能的情况数m!/[n!(m-n)!]

m!

=m(m-1)(m-2)……(m-n+1)(m-n)……1

=m(m-1)(m-2)……(m-n+1)(m-n)!

所以m!/[n!(m-n)!]

=[m(m-1)(m-2)……(m-n+1)(m-n)!]/[n!(m-n)!]

=[m(m-1)(m-2)……(m-n+1)]/n!

m,(m-1),(m-2),……,(m-n+1)就是n个连续的正整数

从m个学生中选班干部n名可能的情况数必为正整数

证毕

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