奥数中的染色与操作问题

染色问题:N边形中起点和起点颜色都确定，相邻两点颜色必须不同，求不同的染色方案总数。

在只有三种颜色染多边形的问题中，有公式： Fn + Fn-1 = 2^(n-1)
n为多边形边数 Fn (n>1)表示n边形的染色方案总数 特殊的，n=2时为线段

公式的说明:
化简为 Fn = 2^(n-1) - Fn-1

先对小数据检验 发现正确。

现在考虑对一个n边形染色，我们首先不考虑起点与终点的连边，从起点连续的染n个点使得相邻颜色不同，那么每次都有3-1=2种染色法，总共2^(n-1)种。
但是其中包含起点与终点颜色相同的不合法方案。
对于不合法的方案，如果现在删除终点，把起点与倒数第二点连接起来，就一定会变成一个n-1边形的合法方案，而且他们一一对应。所以用2^(n-1)减去Fn-1记得到Fn。

所谓操作问题，实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换，这种变换可以具体执行。例如，对任意一个自然数，是奇数就加1，是偶数就除以2。这就是一次操作，是可以具体执行的。操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果。

例1 对于任意一个自然数 n，当 n为奇数时，加上121；当n为偶数时，除以2。这算一次操作。现在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100？为什么？

讨论：同学们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到

这个过程还可以继续下去，虽然一直没有得到100，但也不能肯定得不到100。当然，连续操作下去会发现，数字一旦重复出现后，这一过程就进入循环，这时就可以肯定不会出现100。因为这一过程很长，所以这不是好方法。

解：因为231和121都是11的倍数，2不是11的倍数，所以在操作过程中产生的数也应当是11的倍数。100不是11的倍数，所以不可能出现。

由例1看出，操作问题不要一味地去“操作”，而要找到解决问题的窍门。

例2 对任意两个不同的自然数，将其中较大的数换成这两数之差，称为一次变换。如对18和42可进行这样的连续变换：