UC知道一个数学问题，希望能够得到高手解答。
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/31 20:59:47
一个数学问题，希望能够得到高手解答。
一位商人有一个40千克重的砝码，不小心跌碎而裂成4块，后来一称，每块碎片的重量都是整数。利用这4块，可以用天平称出从1千克到40千克之间，重量为任意整数的重物。问题：这4块打碎的砝码各重多少千克？
这是一个耐人寻味的问题，4块碎片砝码的重量是1千克，3千克，9千克，27千克。即他们可以用3^0,3^1,3^2,3^3表示。也就是，40=3^0+3^1+3^2+3^3。
比如要称量质量为22千克的重物N，那么天平两端应该这样放：N+9=1+3+27
由此引出一个定理：任何正整数都是3的有限项不同次乘幂的代数和，即：
N=3^a1+3^a2+3^a3+...+3^an-3^b1-3^b2-3^b3-...-3^bm
如何证明？（书上给出利用三进制的提示，但是没有具体证明过程。拜托各位高手帮忙想想啦。）
一位商人有一个40千克重的砝码，不小心跌碎而裂成4块，后来一称，每块碎片的重量都是整数。利用这4块，可以用天平称出从1千克到40千克之间，重量为任意整数的重物。问题：这4块打碎的砝码各重多少千克？
这是一个耐人寻味的问题，4块碎片砝码的重量是1千克，3千克，9千克，27千克。即他们可以用3^0,3^1,3^2,3^3表示。也就是，40=3^0+3^1+3^2+3^3。
比如要称量质量为22千克的重物N，那么天平两端应该这样放：N+9=1+3+27
由此引出一个定理：任何正整数都是3的有限项不同次乘幂的代数和，即：
N=3^a1+3^a2+3^a3+...+3^an-3^b1-3^b2-3^b3-...-3^bm
如何证明？（书上给出利用三进制的提示，但是没有具体证明过程。拜托各位高手帮忙想想啦。）
任何进制之间的数字都可以转化。所谓进制就是一种表示数字计量的方式，它和所表示的形式是没有关系的（我自己说的，可能不标准）
要证明的话，我们只需证明十进制中0~9中所有数字都可以写成3^bm的和的形式即可，其它数无非是0~9倍数和的形式罢了
0=0*3，1=1*3^1，2=2*3^0，3=1*3，4=1*3^0+1*3，5=1*3+2*3^0，7=2*3+1*3^0，8=2*3+2*3^0，9=1*3^2
要证明的话，我们只需证明十进制中0~9中所有数字都可以写成3^bm的和的形式即可，其它数无非是0~9倍数和的形式罢了
0=0*3，1=1*3^1，2=2*3^0，3=1*3，4=1*3^0+1*3，5=1*3+2*3^0，7=2*3+1*3^0，8=2*3+2*3^0，9=1*3^2