高一 数学 数学！！！！！帮忙啊~~~~ 请详细解答,谢谢! (9 12:18:58)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/07 14:04:43
在三角形ABC中，已知角A，B，C，的对边分别是a，b，c。且cosC/cosB=（3a-c）/b，又b=√3
则三角形ABC的面积的最大值？

a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以(3a-c)/b=(3sinA-sinC)/sinB
所以cosC/cosB=(3sinA-sinC)/sinB
3sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC
3sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)
因为sin(B+C)=sin(180-A)=sinA
所以3sinAcosB=sinA
0<A<180
所以sinA不等于0
所以cosB=1/3
sin²B+cos²B=1
所以sinB=2√2/3

cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=1/3
b²=3
a²+c²>=2ac
所以
1/3=(a²+c²-b²)/(2ac)>=(2ac-3)/(2ac)=1-3/(2ac)
3/(2ac)>=2/3
两边乘以ac>0
所以(2/3)ac<=3/2
ac<=9/4
所以 S=1/2acsinB<=1/2*9/4*2√2/3=3√2/4
所以面积最大值=3√2/4

由正弦定理得
（3a-c）/b=（3sinA-sinC)/sinB
所以
cosC/cosB=（3sinA-sinC)/sinB
整理得
sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB
sin(B+C)=sinA=3sinAcosB
因为sinA不等于0
所以
cosB=1/3
sinB=（2*根号2）/3
由余弦定理得
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=1/3
又因为b=根号3
所以
3（a^2+c^2)=2ac+9
由均值定理得
a^2+c^2>=2ac
所以
2ac+9>=6ac