一个半径为R的圆绕一个周长为2πR的正六边形做无滑动滚动当转完一周时，圆转了多少圈？

答：一圈
第一种解法：
无滑滚动，有Vc=R*da/dt(Vc是假设球是均质球时，球心的速度；a是总共走过的角位移）
所以 dl/dt=R*da/dt（l是某时刻球沿六边形走过的路程）
约去dt，左边从0到2πR积分，右边从0到x积分后得：2πR=R*x,解得x=2π
所以，球走过了一周
第二种解法：
设想有一根和六边形一样长的绳子被拉直了，球在上面滚动，因为是无滑滚动，即球的接触点与绳子之间没有相对运动，所以球绕球心走过的长度，刚好等于绳子的长度，即2πR,所以，球转过一圈。
如果不是无滑滚动，那么球转过的角度就是用一圈减去相对运动产生的角量变化

楼上 的各位答案 全错。

正六边形并不是边上所有的点都可以与圆接触到。

半径为R的圆，其外接六边形边长为 2R/（根号3），外接六边形周长为
12R/（根号3）=4R*（根号3），比2πR要大。

故圆不可能 在周长为2πR的正六边形做无滑动滚动。

圆转了1圈
正的六边形周长为2πR÷圆的周长2πR=1

一圈