全等三角形的证明题

1.三角形中边长关系的证明
【例1】 如下图所示，∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD，E为AB上任意一点，求证：CE=DE.

【分析】 我们仔细观察图形与条件，想到通过证明两个三角形全等来说明两条线段相等，那么证明哪两个三角形全等呢？因为已知了AC=AD，AE是公共边，我们只需知道∠1＝∠2就可以了.由于已知条件中还有∠ACB=∠ADB=90°的条件，这样我们马上想到通过证明两个直角三角形全等来证明∠1＝∠2.
证明： 在Rt△ABC和Rt△ABD中，AB=AB，AC=AD，
∴ Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）.
∴ ∠1=∠2.
在△ACE和△ADE中，

∴ △ACE≌△ADE（SAS）.
∴ CE=DE.
【例2】如图所示，在△ABC中，延长AC边上的中线BE到G，使EG=BE，延长AB边上的中线CD到F，使DF=CD，连接AF、AG.

（1）按要求补全图形，并标注字母；
（2）AF与AG的大小关系如何？证明你的结论.
【分析】 根据题意很容易画出图形.再由点D是AB、CF的中点，点E是BG、AC的中点，我们很容易判断△ADF≌△BDC，△AGE≌△CBE，这样我们就能看出AF与AG的关系是相等了.
解：（1）补全图形，如图所示.

（2）AF与AG的大小关系为：AF=AG.
证明：在△ADF和△BDC中，

∴ △ADF≌△BDC（SAS），
∴ AF=BC. 同理可证：
△AGE≌△CBE（SAS）.
∴ AG=BC， ∴ AF=AG.
2.三角形中角度关系的证明
【例3】 如图所示，已知AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，交BC延长线于F，连接AF，求证：∠B=∠CAF.

【分析】 由EF垂直平分AD我们能发现∠ADF＝∠FAD，而要证的结论中有∠CAF，∠CAF=∠DAF-∠DAC，想到这里结论就很容易证明了.