数学题 平几

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/21 22:40:22
△ABC三边各有一点PQR
AP=aAB
BQ=bBC
CR=cAC
P+Q+R=2/3
P²+Q²+R²=2/5
求S△ABC：S△PQR

S△ABC:S△PQR = 45:16

题目的描述有点问题，不过能看懂
1) 很容易证明以下关系：
S△ARP/S△ABC=p(1-r)
S△BPQ/S△ABC=q(1-p)
S△CRQ/S△ABC=r(1-q)
2) 于是S△PQR/S△ABC=1-(S△ARP+S△BPQ+S△CRQ)/S△ABC=1-(p+q+r)+(pq+qr+rp)
3) 根据p+q+r=2/3，p^2+q^2+r^2=2/5得pq+qr+rp=(1/2)((p+q+r)^2-(p^2+q^2+r^2))=1/45
4) 故S△PQR/S△ABC=1-(2/3)+(1/45)=16/45