极端性原理

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/27 13:39:27
平面上有n个点，其中任三个点都可组成三角形，且其面积均超不过1 ，求证：存在一个面积不超过4的三角形，它能覆盖住所有n个点。

考虑三个点能组成的面积最大的三角形，设为三角形ABC。
过A作直线平行于BC，设直线为l。那么，如果有一个点D与B,C两点处于直线l的两侧的话，三角形DBC的面积就大于三角形ABC的面积，与三角形ABC的面积最大性矛盾。所以，所有点对于直线l来说都在同一侧。
同理，过B作直线平行于AC，过C作直线平行于AB，我们也有同样的结论。所以，这些点都在这三条直线围成的三角形内，记为三角形XYZ。
由图容易知道，三角形XYZ的中位线组成的三角形就是三角形ABC，所以三角形XYZ的面积就是三角形ABC的四倍，也就是说面积不超过4。同时，三角形XYZ覆盖了所有的点。这就是一个符合要求的三角形。