如何徒手画出这种参数方程的图形（即星形线），画图的步骤为何？

星形线，摆线这种曲线的大致图形是应该记住的。
是用计算机逐个描点得到的。
我们只需要求得特殊点的坐标，再把图形安上就可以了。反正只需要积分区间而已...不过图形确实是需要头脑中有印象，会画的，否则有的积分会积错.
你给的这个星形线很容易把参数方程化成x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)分别另x,y=0所以轴上坐标均是正负a.再把曲线形状安上就好了。
同济教材后面有附录的，那几种特殊曲线重要的要背下来~

告诉你星型线的一个性质
星形线是由半径为a/4的圆在半径为a的内侧转动形成的。
所以先找来一个圆环，有一定厚度。然后把它固定在纸上。
然后，用硬纸板做一个圆形的纸片,半径是圆的1/4。把纸片的边缘扎一个洞，把笔扎进去。然后用笔让纸片紧贴着圆环的内侧做滚动，然后笔画出的曲线就是星形线。
我找了一个类似的图，你可以参考一下，不过由于参考的例子两个圆的比例不是1：4，所以画出的不是星型线，不过方法是一样的。
http://image.baidu.com/i?ct=503316480&z=0&tn=baiduimagedetail&word=%D0%C7%D0%CE%CF%DF&in=19266&cl=2&cm=1&sc=0&lm=-1&pn=32&rn=1&di=2044188000&ln=143&fr=#pn32
这个实现起来不是太简单。

星形线的周长为6*a，它所包围的面积为（3*PI*a^2）/8. 它与x轴围成的区域绕x轴旋转而成的旋转体表面积为（12*Pi* a^2）/5，体积为（32*PI*a^3）/105.

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