一串经典数学题…

一、
解：因为 am+an=am+n
所以 a1 + a1 = a2 ,
a1 + a2 = a3 ,
a1 + a3 = a4 ,
a1 + a4 = a5 ,
……
a1 + am-1 = an .
将上面的式子左右分别相加，得
an = n * a1 n >= 3 且n为自然数 ，
所以 an = n * a1 n为自然数 ,
又 a1 = 1/9 ，
所以 a27 = 3 .

二、
解：因为 f（x）=1／（2^x+√2），
所以 f(k/n) = 1 / [2^(k/n) + √2] , k = 1,2,3,…,n ,
所以 f(k/n) + f((n-k)/n)
= 1 / [2^(k/n) + √2] + 1 / {2^[(n-k)/n] + √2}
= 1 / [2^(k/n) + √2] + 1 / [2 / 2^(k/n) + √2]
= [2 / 2^(k/n) + 2^(k/n) + √2 + √2] / [2 * √2
+ √2 * 2^(k/n) + 4]
= [√2^(k/n) + √2 / √2^(k/n)]^2 / {√2 * [√2^(k/n)
+ √2 / √2^(k/n)]^2}
= 1 / √2
所以 f（1／n）+f（2／n）+…+f（（n－1）／n）
= 1/2 * 2 * [f（1／n）+f（2／n）+…+f（（n－1）／n）]
= 1/2 * (n - 1) * 1 / √2
= √2(n - 1)/4