UC知道老应用题咯，还有一点不明白
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/08 15:46:36
甲乙两数都只含有质因数3和5，他们的最大公因数是45，已知甲数有12个因数，乙数有10个因数，那么甲乙两数之和是多少？
网上找到了解题方法，
乙数：10（＝2×5）个约数的数应该是一个素数与一个四次方素数的积 因此符合条件的数只有81×5＝405. 因此，甲数应在595与395之间。 甲有12个约数，同时考虑含约数45，即含5、9，可分为以下3种情况： （1）因为12＝2×6，所以甲数可能是5×3^5＝1215>595，这里没有合适的数。 （2）因为12＝3×4，所以甲数可能是5^2×3^3=675>595,或3^2×5^3=1125>595，也没有合适的数, （3）因为12＝2×2×3，所以甲数可能是45与另一个素数的积，符合条件的有：495、585 所以在800与1000之间，甲数与乙数的和是 405＋495＝900 或 405＋585＝990
这里数：10（＝2×5）个约数的数应该是一个素数与一个四次方素数的积
我不是很明白
你帮我讲讲每个过程吧，为什么这么想
网上找到了解题方法，
乙数：10（＝2×5）个约数的数应该是一个素数与一个四次方素数的积 因此符合条件的数只有81×5＝405. 因此，甲数应在595与395之间。 甲有12个约数，同时考虑含约数45，即含5、9，可分为以下3种情况： （1）因为12＝2×6，所以甲数可能是5×3^5＝1215>595，这里没有合适的数。 （2）因为12＝3×4，所以甲数可能是5^2×3^3=675>595,或3^2×5^3=1125>595，也没有合适的数, （3）因为12＝2×2×3，所以甲数可能是45与另一个素数的积，符合条件的有：495、585 所以在800与1000之间，甲数与乙数的和是 405＋495＝900 或 405＋585＝990
这里数：10（＝2×5）个约数的数应该是一个素数与一个四次方素数的积
我不是很明白
你帮我讲讲每个过程吧，为什么这么想
我认为答案是错误的
设甲数 = 3^a * 5^b
乙数 = 3^c * 5^d
甲数有12个因数, (a+1)(b+1) = 12 (这一公式可以由简单的排列组合只是推出）
乙数有10个因数 (c+1)(d+1) = 10
他们的最大公因数是45 = 3^2 * 5
min(a,c) = 2, min 表示两数中小的一个
min(b,d) =1
若b = 1, a = 5, c = 2, d=10/3-1， 不是整数，所以b不是1
若d = 1，c=4, a = 2 ,b = 3,符合条件
所以 甲数 = 3^2 * 5^3 = 1125
乙数 = 3^4* 5 = 405
甲数与乙数的和是 1530
关于一个自然数约数个数的证明：
设自然数n有q个质因子，p1, p2, p3,...,pq
n 可以表示成
n = p1^(m1) * p2^(m2) *... * pq^(mq)
n的约数中可以含有 0，1，..., m1个因子p1, 共m1+1种取法
n的约数中可以含有 0，1，..., m2个因子p2, 共m2+1种取法
…………
n的约数中可以含有 0，1，..., mq个因子pq, 共mq+1种取法
根据乘法定理，n的约数个数为(m1+1)(m2+1) ... (mq+1)