出一道奥数题

1.有甲、乙、丙三件商品，买甲三件，乙七件，丙一件，共需32元，买甲四件，乙十件，丙一件，共需43元，则甲、乙、丙各买一件共需多少元？
2.有长度相等、粗细不同的两根蜡烛，一支可以燃烧4小时，另一支可以燃烧5小时。同时点燃，同时熄灭，余下的长度一支是另一支的4倍，蜡烛点燃了几小时几分?
3.商店以每支10元的价格购进一批钢笔，加上40%的利润以后定价出售，当卖出这批钢笔的四分之三时就已经获利（指在收回所有成本的基础上获利）240元。这批钢笔共有多少支？
4.从1到1998的自然数中，有多少个数乘72后是平方数？
5.把一个平行四边形分割成两个梯形，为什么它们的高总是相等？
6.一件工程，甲独做24天可以完成，如果甲先做6天后乙再做4天，可以完成工程的二分之一，现在甲、乙合作若干天后再由乙独自完成，如果乙独自完成的时间与两队合作的时间相等，那么，乙队做了多少天？
7.某次数学竞赛原定一等奖8人，二等奖16人，现在将一等奖最后4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了1.2分，得一等奖的学生的平均分提高了4分，那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？

答案：<1>解：有由甲乙丙商品分别X、Y、Z件
则有方程组3X+7Y+Z=32 ①
4X+10Y+Z=43 ②
由①*2-②得2X+4Y+Z=21 ③
由①+③-②得X+Y+Z=10
故买甲乙丙三件商品各一件供需10元.

<2>解；设烧了X个小时， 则第一根蜡烛还可以烧4-X个小时，即还剩下原长度的4-X/4同理，第二根蜡烛还剩原长度的5-X/5，
（4-X/4）/（5-X/5）=4或1/4（有两种情况）
①（4-X/4）/（5-X/5）=4 ②（4-X/4）/（5-X/5）=1/4
20-5X=80-16X 5-X=20-5X
11X=60 4X=15