函数 数列

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/11 23:56:02
已知点（1，1/3）是函数f(x)=a^x(a>0,且a不等于1)的图像上的一点，等比数列{An}的前n项和为f(n)-c,数列{Bn}(Bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=(√Sn）+(√Sn-1)(n≥2)。(1)求数列{An}和{Bn}的通项公式；（2）若数列{1/BnBn+1}前n项和为Tn,问Tn>1000/2009的最小正整数n是多少？
注：题目中n-1是S的角标，n+1是B的角标

f(x)=(1/3)^x
An前n项和Tn=(1/3)^n-c
n>=2时，T(n-1)=(1/3)^(n-1)-c
两个相减得到，An=-2(1/3)^n ----------------****
知道An等比，则n=1时也成立
那么A1=-2/3=1/3-c，那么c=1

Sn-Sn-1=(√Sn）+(√Sn-1)(n≥2)
因式分解化简得到(√Sn）-(√Sn-1)=1
(√Sn）=1+(√Sn-1)
两边平方
Bn=1+2√Sn-1
然后整理
Bn^2-2Bn+1=4Sn-1
Bn+1^2-2Bn+1+1=4Sn
两个式子相减化简得到
Bn+1=Bn +2，等差，公差2
知道B1=1，B2=3
那么Bn=2n-1----------------*********

2）Tn=1/1*3+1/3*5+1/5*7+1/7*9+……+1/(2n-1)*(2n+1)
=1/2(1-1/3+1/3-1/5+1/5-……+1/2n-1-1/2n+1)
=n/(2n+1)
n/(2n+1)-1000/2009=(9n-1000)/(4018n+2009)>0
就是9n-1000>0
n>1000/9=111.111……
那么n最小整数是112