“怎么”和“什么”算是近义词吗?

不太算！
因为“怎么”有的时候可以是一种语气词，
比如有时候你去质问一个人，
那个人知道以后会回你一句“怎么？”意为“没错，怎么样啊？”

而“什么”，大部分都是疑问词，

总的来说，这两个词的意思是蛮像的，
但是一般不说它们是近义词！

不算

当然在正式场合或书面用语中不算近义词，但在某些地方的方言中是一个意思。。。。

算
吧
~
~
~

不是！词性都不一样。
什么--可做为代词，用于疑问句，表示疑问或不定。用于感叹句，表示惊讶与不满。
怎么--疑问词，

算是同义词，都是疑问词。同义同义就是意思差不多的词。