我和一家国企有企业签订了5年劳动合同，在此期间还可以考国家公务员吗？会受到什么限制吗？

可以考。但会受到你与用人单位所签订《劳动合同》的约束（详见劳动合同的具体约定，来判断你可能需要承担的违约责任）。
建议考前尽量和单位多沟通，沟通得好的话，单位也不会为难你的。否则，可能会有些麻烦。
不过，一般情况下提前一个月通知用人单位，就可以解除劳动合同了。