求解中学数学难题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/05 03:22:50
以△ABC的边AB、AC为边分别向三角形外作正方形ABEF和正方形ACGH,过A点作直线分别交BC、FH于D、M
求证：（1）若AD⊥BC，则AD平分FH
(2) 若AD平分BC，则AD⊥FH
只要把思路说清就可以，谢谢O(∩_∩)O~

思路就是利用中线构造平行四边形

第一问：过F作FP‖AH，交AM的延长线于P，连接PH
∵∠FAB=∠HAC=90°，
∴∠FAH+∠BAC=180°=∠PFA+∠FAH，
∴∠BAC=∠PFA。
又AD⊥BC，∴∠ABD+∠BAD=90°=∠FAM+∠BAD．
∴∠FAP=∠ABD。又AB=AF,
∴ΔABC≌ΔFAP,∴AC=FP．
又AC=AH，∴AH=FP．
∴四边形AHPF为平行四边形。故AD平分FH。

第二问：延长AD至P，使得DP=AD，连接PB、PC，
则ABPC为平行四边形,易证ΔABP≌ΔFAH．
∴∠BAD=∠AFH．
∴∠AFH+∠FAM=∠BAD+∠FAM=180°-∠BAF=90°．
∴AD⊥FH