求arctan(x)带拉格朗日余项的5阶麦克劳林公式

这个题目可以这样做
因为arctan(x)的导数(arctan(x))'=1/(1+x^2) （1）

然后由1/(1-x)=1+x+x^2+x^3......(2)（当x趋近于0时）这个可以对右边用等比数列求和公式求出

右边=1*（1-x^n)/(1-x)=1/（1-x)这样我们就证明了（2)式在趋近于0时是成立的。（为什么要趋近于0，这是由于麦克劳林公式展开就要这个条件）
然后我们对（1)式右边运用（2）这个公式

可以得出（1）等于(arctan(x))'=1/(1-(-x^2))=1+(-x^2)+(-x^2)^2+（-x^2)^3+...（3）

然后对（3）式两边积分，左边就是acrtan(x)了
右边就是下式
ans =

x-1/3*x^3+1/5*x^5 ....

你要是还不会就用matlab为个软件，输入
syms x
taylor(atan(x))
也可以得出同样的结论！

这个题求的是麦克劳林展开，也只能求这个展开，我们目前求不出有拉格朗日余项的麦克劳林公式。麦克劳林公式在定义的时候一般就是不带拉格朗日余项的.
我刚才查了下matlab的功能，也没有这个，这个题考你的是如何转化问题，把无法求N阶导的函数展开，要先求导再展开再积分。正是因为它的原函数无法不N阶导，所以不法求出余项!

只要把最后一项f(x)的n+1次方导数换成f(ξ)的n+1次方导数就行了，其它的不变