二次函数的顶点与X轴的交点围成的三角形为直角三角形△是多少

不妨设二次函数的方程为：x^2=2py
当它沿x轴向下平移t个单位时，它的方程会变成x^2=2p(y+t)

假定当t=T时，该二次曲线的顶点与X轴的交点围成的三角形正好为直角三角形

这时它的顶点坐标是：（ 0 ，－T）
而这时它跟x轴的交点是：（ -根下2pT，0）和（ 根下2pT，0）

由于三个点构成直角三角形，那么：T=根下2pT
两边平方得：T^2=2pT
得到两个解：T＝0，T＝2p
可知T＝0是一个增根，那么只有T＝2p有意义
则这个三角形的面积是：2p*2*2p/2=4p^2

当二次函数为y=x^2时，此时p=1/2
面积为：4*（1/2）^2=4*(1/4)=1

解毕。

如果有不明白的地方可以留言！

补充一下：
虽然二次函数有椭圆、双曲线和抛物线三种，但根据楼主所说的它有“顶点”一说，而确定这个二次函数是抛物线（其它两种二次函数均没有顶点）。另外，根据题目中所说跟x轴有两个交点判断，这个抛物线是关于y轴对称的。呵呵，不知道所做的判断是否正确。

题呢？什么样的二次函数？

设A(x1,0)B(x2,0)为二次函数与X轴的交点，C为二次函数的顶点。由于A、B应该关于函数的对称轴对称，于是△ABC应该是等腰直角三角形。
为了简化运算，先讨论对称轴为y轴开口向上的二次函数y=ax^2-c,这里a和c为正数，于是x1=-c,x2=c,代入有ac=1,S△=c^2=1/a^2.
对称轴为x=m时，可设y=a(x-m)^2-c,于是x1=m-c,x2=m+c,代入同样有ac=1,S△=c^2=1/a^2.
如果开口向下同样可以得到S△=c^2=1/a^2.。
∴S△=c^2=1/a^2.