UC知道黎曼函数 证明连续性
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/07 02:42:42
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“在无理点是连续的，在除0，1外的有理点不连续：
先证黎曼函数在0,1点连续。
下证对于任意一个正数a,总存在0的一个邻域{x|0<x<t}使得其中的任何一个数都满足：|f(x)-0|<a
对于邻域中的无理点显然成立。存在整数n使(1/n)<a,则t取(1/n).对于{x|0<x<(1/n)}中的有理数，其分母>n,otherwise,x>=(1/n),从而|f(x)-0|<(1/n)<a,从而黎曼函数在0点连续。………………”
一文。我看不怎么懂 |f(x)-0|<a 是在干吗。
我只知道在x=0处连续。。其他真是不懂。。
求高人赐教。
“在无理点是连续的，在除0，1外的有理点不连续：
先证黎曼函数在0,1点连续。
下证对于任意一个正数a,总存在0的一个邻域{x|0<x<t}使得其中的任何一个数都满足：|f(x)-0|<a
对于邻域中的无理点显然成立。存在整数n使(1/n)<a,则t取(1/n).对于{x|0<x<(1/n)}中的有理数，其分母>n,otherwise,x>=(1/n),从而|f(x)-0|<(1/n)<a,从而黎曼函数在0点连续。………………”
一文。我看不怎么懂 |f(x)-0|<a 是在干吗。
我只知道在x=0处连续。。其他真是不懂。。
求高人赐教。
该题是让我们证明黎曼函数在[0,1]上的任一点上的极限是0，而根据该函数的性质，在无理点处的函数值为0，在有理点处的值为1/p，若能证出任一点的极限都是0，那么我们就自然地能说明黎曼函数在有理点处是不连续的，因为极限值0不等于函数值1/p，在无理点处是连续的。因为第一步必须要证明任一点的极限值为0，像黎曼这样的函数没法直接用lim这样算，因为根据实数的稠密性，无理数和有理数是交错在一起的，因此只能用ε-N语言来证明，那一定是要证｜R(x)-0｜<ε成立才行，所以｜R(x)-0｜<ε就是要证明[0,1]上的任一点x的极限均为0，从而进一步说明有理点处不连续，无理点处连续～