清忆！问题1

x>=0时，y=x^2单调递增。
因x>=1时，z=ln(x+2)/ln(3)>0。所以，x>=1时，y=z^2=[ln(x+2)/ln(3)]^2单调递增。
3>=x>=1时，[ln(5)/ln(3)]^2 = [ln(3+2)/ln(3)]^2 >= [ln(x+2)/ln(3)]^2 >= [ln(1+2)/ln(3)]^2 = 1.

x>0时，y=ln(x)/ln(3)单调递增。
因x>=1时，z=x^2+2>0.所以，x>=1时，y=ln(z)/ln(3)=ln[x^2+2]/ln(3)单调递增。
3>=x>=1时，ln(11)/ln(3)=ln[3^2+2]/ln(3) >= ln[x^2+2]/ln(3) >= ln[1+2]/ln(3)=1.

3>=x>=1时，[ln(5)/ln(3)]^2 + ln(11)/ln(3) >= [ln(x+2)/ln(3)]^2 + ln[x^2+2]/ln(3) = F(x).

3>=x>=1时，F(x)的最大值F(3)=[ln(5)/ln(3)]^2 + ln(11)/ln(3)

F(x)=[log3(x+2)]²+log3(x²+2)
因为1≤x≤3,故3≤x+2≤5,3≤x²+2≤11
所以1≤[log3(x+2)]²≤[log3(5)]²,1≤log3(x²+2)≤log3(11)
注意到这两个不等式都是在x=3时取到最大值
所以当x=3时,F(x)有最大值F(3)=[log3(5)]²+log3(11)

说明:像这样的题一般不会要你去判断单调性,如果要涉及到单调性一般也会是严格单调的,你只需自习观察函数的各个部分,看看由加号连接起来的几个部分是不是都是严格单调增或是减.如果是选择题可以先用不等式确定每个部分的范围,然后再看总体范围,尤其要注意等号成立的条件,这是用不等式求解最值的关键.
如果遇到那种既有增区间又有减区间