设直线过定点P(1,2),且与x、y轴的正半轴分别交于A、B,求三角形AOB周长的最小值

解：设∠ABO=θ，则OB=2+cotθ,OA=1+2tanθ,AB=1/sinθ+2/cosθ,
于是三角形AOB周长=2+cotθ+1+2tanθ+1/sinθ+2/cosθ=(1+cosθ)/sinθ+2(1+sinθ)/cosθ+3
令tanθ/2=t,由万能公式，得：
三角形AOB周长=1/t+2(1+t)/(1-t)+3 (0<t<1)
=1/t+4/(1-t)+1
又令t=sin²φ，则三角形AOB周长=1/sin²φ+4/cos²φ+1
=(1/sin²φ+4/cos²φ)(sin²φ+cos²φ)+1
=1+4+cos²φ/sin²φ++4sin²φ/cos²φ+1
≥6+4=10
此时sin²φ=1/3,也就是t=1/3,进一步求得tanθ=3/4，
所以当OB=10/3,OA=5/2,AB=25/6时，三角形AOB周长取得最小值10．

A(a,0) B(0,b) a>0,b>0

得b=2a/(a-1),a>1

周长=a/(a-1)*(a+1+sqrt(a^2-2a+5))

最小值是10,从图上看出来的,a=2.5,b=10/3

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