最小二乘法解决人口预测问题

最小二乘法与数据拟合

一、问题
某公交公司1路车过去20个季度内的客流量(单位：百万)如下表：
季度序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
客流量 1.85 2.18 1.6 2.31 1.93 2.35 1.638 2.51 1.92 2.49
季度序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
客流量 2.01 2.68 2.05 2.77 2.23 2.95 2.46 2.87 2.35 3.07

试确定客流量与季度序号之间的函数关系，并预测未来八个季度的客流量。
二、实验目的
掌握最小二乘法的原理并会用于解决实际问题；学会用mathematica中的算符进行曲线拟合。
三、预备知识
1 最小二乘法
在许多实际问题中，往往需要根据实验测得两个变量x与y的若干组实验数据(x1,y1),…(xn,yn)来建立这两个变量的函数关系的近似式，这样得到的函数近似式称为经验公式。
通过对实验数据的处理，能够判断x、y大体上满足某种类型的函数关系y＝f(x,a1,a2,…,as),但是其中s个参数a1,a2,…,as的值需要通过n组实验数据来确定，通常可以这样来确定参数：选择参数a1,a2,…,as，使得f(x,a1,a2,…,as)在x1,x2 …xn处的函数值与实验数据 y1,y2 …yn 的偏差的平方和为最小，就是使
d＝ (1)
为最小，这种方法称为最小二乘法。当f(x,a1,a2,…,as)是s个参数的线性函数时，利用求极值与解线性方程组的方法可以解决。
例如，若x、y大体上满足线性关系即f(x,a,b)＝ax+b ，则
d(a,b)＝ (2)
由多元极值的求法有
(3)
解上述关于a、b的二元一次方程组得

a＝ ， b＝
从而求得经验公式y＝ax＋b 。
d＝ 的大小是衡量经验公式精度的一种尺度。
线性函数是最简单最常用的经验公式，有一些实际问题，它们的经验公式可能不是线性函数，我们可以把它化为线性函数来讨论，例如y=kemx,两边取对数得ln