求逆矩阵方法

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/24 05:35:26
求逆矩阵的方法除了伴随矩阵法，增广矩阵法之外，还有什么比较简单方法吗？好的有加分～

　　求逆矩阵常用的有两种方法：

  1. 伴随阵法：A^(-1)=(1/|A|)×A* ，其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵，其中|A|为矩阵A的行列式的值，A*为矩阵A的伴随矩阵。

  2. 行初等变换法：(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))。

    注意：初等变化只用行（列）运算，不能用列（行）运算。E为单位矩阵。

  3. 一般计算中，或者判断中还会遇到以下11种情况来判断是否为可逆矩阵：

    1 秩等于行数

    2 行列式不为0

    3 行向量(或列向量)是线性无关组

    4 存在一个矩阵，与它的乘积是单位阵

    5 作为线性方程组的系数有唯一解

    6 满秩

    7 可以经过初等行变换化为单位矩阵

    8 伴随矩阵可逆

    9 可以表示成初等矩阵的乘积

    10 它的转置矩阵可逆

    11 它去左(右)乘另一个矩阵，秩不变

  4. 可逆矩阵的性质

    1 矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0。

    2 可逆矩阵一定是方阵。

    3 如果矩阵A是可逆的，A的逆矩阵是唯一的。

    4 可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、满秩矩阵。

    5 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

    6 可逆矩阵的转置矩阵也可逆。

    7 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

  5. 求解逆矩阵的举例，对于如下行列式A：（以二阶方阵为例）

    |3 0|

    |2 1|

    对于元素3，其代数余子式是（-1）^(1+1)*1=1；对于元素0，其代数余子式是（-1）^(1+2)*2=-2；对于元素2，其代数余子式是（-1）^(2+1)*0=0；对于元素1，其代数余子式是（-1）^(2+2)*3=3，所以矩阵A的伴随阵A*是：

    |1      0|

    |-2    3|
    而A的行列式|A|=3*1-2*0=3所以A^（-1）=(1/|A|)*(A*)=

    1/3|1